Abstract
<jats:p>Мы вводим понятие *полного дефекта* \(\Delta(q)\) целого модуля \(q \ge 3\), определяемого как сумма по всем неглавным характерам Дирихле по модулю \(q\) абсолютно сходящегося ряда \(\delta(\chi) = \sum_p \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\chi(p)^k}{k p^k}\). Эта величина естественным образом возникает из разложения эйлерова произведения \(\log L(1, \chi)\). Мы доказываем точную, вычислительно эффективную формулу для \(\Delta(q)\), используя ортогональность характеров (Теорема 1). Мы вычисляем \(\Delta(q)\) численно для всех простых модулей \(q \le 100\) и для составных модулей \(q \le 50\). Данные обнаруживают поразительную эмпирическую закономерность: для простых \(q\), \(\frac{\Delta(q)}{\phi(q)} \sim \frac{C}{\log q}\), где \(C = 0.0621 \pm 0.0005\), определённая по данным для \(q \ge 31\). Мы формулируем это как Гипотезу 1 и обсуждаем её согласованность с известными аналитическими свойствами \(L\)-функций Дирихле в точке \(s=1\). Мы не делаем никаких заявлений о гипотезе Римана; работа является чисто безусловным исследованием арифметической величины \(\Delta(q)\). Все вычисления воспроизводимы с помощью прилагаемого кода SageMath.</jats:p>