Abstract
<jats:p>Настоящая монография строит **Синтетический негладкий анализ (СНА)** как прямое и систематическое продолжение СВА. Ключевой шаг — отказ от ожидания, что негладкость есть «отсутствие производной» у стрелок $\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}$, и переход к точному тезису: **негладкость в гладком топосе является топологически‑локалевой**. Мы вводим внутреннюю топологию Пенона $P(X)$ (локаль Penon‑открытых подобъектов), фиксируем логические инфинитезималы $\Delta={d\in\mathbf{R}\mid \neg\neg(d=0)}$ и строим теорию значений в локалях нижних/верхних вещественных и расширенных значений. На этом фундаменте определяются синтетические аналоги обобщённых производных и субдифференциалов: синтетический субдифференциал Кларка $\partial_C^S$, проксимальный/Моро $\partial_M^S$ и лимитный (Мордухович‑тип) $\partial_L^S$; строятся $P$‑касательные и $P$‑нормальные конусы к множествам и эпиграфам; развивается исчисление (сумма, максимум, композиция, строгая цепочка); формулируются $P$‑монотонные многозначные включения, резольвенты и регуляризации Йосиды; доказывается конструктивная негладкая двойственность на базе $P$‑сопряжения Лежандра–Фенхеля без Хана–Банаха; выводятся теоремы существования решений вариационных неравенств и включений и даются алгоритмы (проксимальные и splitting‑схемы) с гарантиями сходимости в $P$‑смысле.</jats:p>