Большие промежутки между числами Романова

<jats:p>Натуральные числа, представимые в виде суммы простого числа и степени двойки с натуральным показателем, называются числами Романова. Начало изучению таких чисел положено Л. Эйлером, К. Гольдбахом [3] и А. де Полиньяком [1, Th´eor`eme 2, IV]. В своейработе [10] 1934 года Н. Романов доказал, что множество чисел Романова имеет положительную нижнюю плотность, то есть для некоторой константы 𝛼 &gt; 0 всякий отрезок [1, 𝑥] при 𝑥 ≥ 4 содержит хотя бы 𝛼𝑥 чисел, представимых в виде 𝑝 + 2𝑛. Данный результатобобщается также и на случай степени произвольного натурального 𝑎 : 𝑝 + 𝑎𝑛, с константой, зависящей от 𝑎. Основной метод доказательства состоит в совмещении неравенстваКоши – Буняковского – Шварца и методов решета. Теорема Романова допускает множество обобщений: так, Г. Ригер [8] доказал её аналог для числовых полей, И. Шпарлинский и А.Вайнгартнер [11] установили тот же результат для многочленов над конечными полями, а А. Радомский [7] получил ряд результатов о числе представлений натуральных чисел в виде 𝑎 + 𝑏, где 𝑎 — элемент просеянного множества (например, простое число или сумма двух квадратов целых чисел), а 𝑏 берется из какого-нибудь более сложно устроенного множества. В частности, в упомянутой работе получены результаты о суммах 𝑝+#𝐸(Fℓ), где 𝑝 и ℓ — простые, а #𝐸(Fℓ) есть количество точек фиксированной эллиптической кривой 𝐸 над полем Fℓ.Что касается нечётных чисел, не являющихся числами Романова, П. Эрдёш [2] установил в 1950 году, что верхняя плотность чисел Романова не превосходит 1/2− 1/(2^(241)·3·5·7·13·17·241) .Доказательство использует покрывающие системы сравнений для того, чтобы построить явную арифметическую прогрессию с разностью 2^241 ·3·5·7·13·17·241, не содержащую чисел Романова. В той же работе сформулирована гипотеза о неограниченности наименьшего модуля в покрывающей системе, получившая отрицательный ответ лишь 63 года спустя в работе [5]. Оценка Эрдёша была позже понижена до 0.490491 Л. Абсигером и К. Ф. Робло [4].Данная работа также посвящена результатам о дополнении к множеству чисел Романова. А именно, доказаны нижние оценки для длины наибольшего подотрезка в [1,𝑋], не содержащего чисел Романова. Теорема 2 даёт общий способ получения таких нижних оценок, зависящий от произвольного множества 𝒫, состоящего из простых чисел. Основной результат — теорема 1 — доказан двумя разными способами: элементарный безусловный подход использует примитивные простые делители чисел 2𝑚−1, а второй подход основывается на расширенной гипотезе Римана для дзета-функций некоторого семейства числовых полей. Получающиеся в этих подходах оценки совпадают.</jats:p>