Abstract
<p> The functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y equals e Superscript x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y=e^x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y equals x Superscript x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y=x^x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are interesting ones since some real solutions of the equations are transcendental numbers which can be used for a cryptography. So we need the expolynomial ring <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Bbb F}(m^*,k,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which includes the polynomial ring and the differential equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y prime minus i x Subscript t Superscript i Super Subscript t Superscript minus 1 Baseline y equals 0 comma 1 less-than-or-equal-to t less-than-or-equal-to m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y’-ix_t^{i_t-1}y=0, 1\leq t\leq m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , has the solution in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Bbb F}(m^*,k,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We define the Weyl-type algebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A left-parenthesis double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A({\Bbb F}(m^*,k,n))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the Witt-type Lie algebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W left-parenthesis double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">W({\Bbb F}(m^*,k,n))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Bbb F}(m^*,k,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and show that the algebras are simple. We also show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Bbb F}(m^*,k,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A left-parenthesis double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A({\Bbb F}(m^*,k,n))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -module, and by using an automorphism <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta"> <mml:semantics> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A left-parenthesis double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A({\Bbb F}(m^*,k,n))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we define twisted Weyl-type module <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis Subscript theta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> θ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Bbb F}(m^*,k,n)_{\theta }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show that there are uncountably many pairwise non-isomorphic Weyl-type algebras and uncountably many pairwise non-isomorphic twisted Weyl-type modules of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F left-parenthesis m Superscript asterisk Baseline comma k comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Bbb F}(m^*,k,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in this paper. We also show that there are uncountably many pairwise non-isomorphic Witt-type simple Lie algebras. We show that the real solution of the equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x Superscript x Super Superscript x Baseline equals 10"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x^{x^x}=10</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an irrational number in this work. </p>