Abstract
<p> We are concerned with the absence of positive solutions of the following problem, <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column StartFraction partial-differential u Over partial-differential t EndFraction equals normal upper Delta Subscript double-struck upper H Sub Superscript n Baseline left-parenthesis u Superscript m Baseline right-parenthesis plus eta u Superscript m Baseline StartAbsoluteValue nabla Subscript double-struck upper H Sub Superscript n Subscript Baseline u EndAbsoluteValue Superscript q Baseline plus upper V left-parenthesis z comma l right-parenthesis u Superscript m Baseline plus lamda u Superscript p Baseline 2nd Column a m p semicolon in normal upper Omega times left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma 2nd Row 1st Column u left-parenthesis z comma l comma 0 right-parenthesis equals u 0 left-parenthesis z comma l right-parenthesis greater-than-or-equal-to 0 2nd Column a m p semicolon in normal upper Omega comma 3rd Row 1st Column u left-parenthesis z comma l comma t right-parenthesis equals 0 2nd Column a m p semicolon on partial-differential normal upper Omega times left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> η </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \begin {cases} \frac {\partial u}{\partial t}=\Delta _{\mathbb {H}^n}( u^m)+\eta u^m|\nabla _{\mathbb {H}^n}u|^q+V(z,l)u^m+\lambda u^p & \text {in}\quad \Omega \times (0, T ), \\ u(z,l,0)=u_{0}(z,l)\geq 0 & \text {in} \quad \Omega , \\ u(z,l,t)=0 & \text {on}\quad \partial \Omega \times (0, T), \end{cases} \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a bounded open subset of the Heisenberg group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper H Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {H}^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with smooth boundary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial \Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m>0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="eta element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> η </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\eta \in \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q>0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V element-of upper L Subscript l o c Superscript 1 Baseline left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>loc</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V\in L_{\operatorname {loc}}^1(\Omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda \in \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p>0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We also present a new sharp Leray type inequality with remainder and a Leray-Sobolev type inequality with explicit constant on the Heisenberg group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper H Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {H}^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Furthermore, we demonstrate several applications of our main result using various concrete potentials derived from the Hardy and Leray type inequalities. </p>