Abstract
<p> For each open subgroup <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H less-than-or-equal-to upper G upper L 2 left-parenthesis ModifyingAbove double-struck upper Z With caret right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo> β€ </mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H\leq GL_2(\widehat {\mathbb {Z}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , there is a modular curve <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript upper H"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , defined as a quotient of the full modular curve <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the level of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . A formula for the genus of a modular curve is well known for the modular curves <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X 0 left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_0(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X 1 left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_1(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript normal s normal p Baseline left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_{\mathrm {sp}}(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript normal s normal p Superscript asterisk Baseline left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> β </mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_{\mathrm {sp}}^*(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript normal n normal s Baseline left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_{\mathrm {ns}}(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript normal n normal s Superscript asterisk Baseline left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> β </mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_{\mathrm {ns}}^*(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript upper S 4 Baseline left-parenthesis p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_{S_4}(p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> prime. We explicitly work out the invariants of the genus formulas for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript normal s normal p Superscript plus Baseline left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_{\mathrm {sp}}^+(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript normal n normal s Superscript plus Baseline left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_{\mathrm {ns}}^+(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Subscript arith comma 1 Baseline left-parenthesis upper M comma upper M upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>arith</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_{\text {arith},1}(M,MN)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We provide the invariants of the genus formulas for the aforementioned modular curves in a table at the end of the article. </p>