Abstract
<p> Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the totally real quintic field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Q left-parenthesis 2 cosine left-parenthesis pi slash 11 right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mo> β‘ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> Ο </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {Q}(2\cos (\pi /11))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sans-serif upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="sans-serif">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathsf {A}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the quaternion algebra overΒ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ramified only at four of its five real places. Then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript asterisk Baseline slash left-brace plus-or-minus 1 right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mo> Β± </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A^*/\{\pm 1\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contains the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 2 comma 3 comma 11 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(2,3,11)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> triangle group, which is the last example in Takeuchiβs list (1977) of arithmetic triangle groups, and the only one associated to a quaternion algebra over a field of degree at leastΒ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="5"> <mml:semantics> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We study the Shimura curve <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C equals script upper X 0 left-parenthesis German p 32 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C = \mathcal {X}_0(\mathfrak {p}_{32})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of genusΒ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> associated to a congruence subgroup <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma 0 left-parenthesis German p 32 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Ξ </mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma _0(\mathfrak {p}_{32})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We find that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C"> <mml:semantics> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has the Weierstrass model <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row 1st Column upper C colon y squared 2nd Column a m p semicolon equals minus 28 x Superscript 6 Baseline minus 76 x Superscript 5 Baseline minus 11 x Superscript 4 Baseline minus 30 x cubed minus 91 x squared plus 164 x minus 52 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column a m p semicolon equals minus left-parenthesis 2 x minus 1 right-parenthesis left-parenthesis 14 x Superscript 5 Baseline plus 45 x Superscript 4 Baseline plus 28 x cubed plus 29 x squared plus 60 x minus 52 right-parenthesis comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>28</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>76</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>30</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>91</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>164</mml:mn> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>52</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>14</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>45</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>28</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>29</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>60</mml:mn> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>52</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{align} C: y^2 &= -28x^6 - 76x^5 - 11x^4 - 30x^3 - 91x^2 + 164x - 52 \\ &= -(2x-1) (14x^5 + 45x^4 + 28x^3 + 29x^2 + 60x - 52),\notag \end{align}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> and determine the degree- <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="33"> <mml:semantics> <mml:mn>33</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">33</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> Belyi function onΒ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C"> <mml:semantics> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that represents the cover <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X 0 left-parenthesis German p 32 right-parenthesis right-arrow script upper X left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> β </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {X}_0(\mathfrak {p}_{32}) \to \mathcal {X}(1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of Shimura modular curves. The preimages of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Q"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {Q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -rational points <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j"> <mml:semantics> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> onΒ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {X}(1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> then yield infinitely many number fields <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F Subscript j"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F_j</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket upper F Subscript j Baseline colon bold upper Q right-bracket equals 33"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>33</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[F_j:\mathbf {Q}] = 33</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/tex"> <tex-math>\textrm {Gal}\nolimits (F_j/\mathbf {Q}) \cong \Sigma \rm L\nolimits _2(\mathbf {F}_{32})</tex-math> </inline-formula> with quintic resolventΒ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Searching for examples with small <inline-formula content-type="math/tex"> <tex-math>\Delta = \textrm {disc}\nolimits (F_j / \mathbf {Q})</tex-math> </inline-formula> finds fields with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Ξ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as small as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 Superscript 78 Baseline 11 Superscript 30"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>78</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>30</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2^{78} 11^{30}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (root-discriminant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="45.52"> <mml:semantics> <mml:mn>45.52</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">45.52</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ), as well as the field <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F Subscript negative 121 Baseline equals bold upper Q left-bracket x right-bracket slash left-parenthesis x Superscript 33 Baseline minus 6 x Superscript 22 Baseline plus 14 x Superscript 11 Baseline plus 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>121</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>33</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>22</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>14</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation} F_{-121} = \mathbf {Q}[x] / (x^{33} - 6x^{22} + 14x^{11} + 2) \end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> with smaller Galois group and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta equals 2 Superscript 32 Baseline 11 Superscript 34"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ξ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>34</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta = 2^{32} 11^{34}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (root-discriminant only <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="23.17"> <mml:semantics> <mml:mn>23.17</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">23.17</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , now the LMFDBβs second-smallest for a number field of degreeΒ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="33"> <mml:semantics> <mml:mn>33</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">33</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ). Along the way we find that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J left-parenthesis upper C right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J(C)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="31"> <mml:semantics> <mml:mn>31</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">31</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -isogenous with the Jacobian of the curve <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C prime colon y squared equals 8 x Superscript 5 Baseline minus 23 x Superscript 4 Baseline plus 38 x cubed minus 7 x squared minus 16 x plus 8 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>β²</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>23</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>38</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mn>16</mml:mn> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation} Cβ: y^2 = 8 x^5 - 23 x^4 + 38 x^3 - 7 x^2 - 16 x + 8, \end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> which has <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper J Subscript upper C prime Baseline left-parenthesis upper K right-parenthesis right-parenthesis Subscript tors Baseline approximately-equals bold upper Z slash 155 bold upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>β²</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>tors</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>155</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(J_{Cβ}(K))_{\text {tors}} \cong \mathbf {Z}/ 155 \mathbf {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , including a Galois orbit of five <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -rational points onΒ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C prime"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>β²</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Cβ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , giving an exotic βWeierstrass torsion packetβ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext=""> <mml:semantics> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\!</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . </p> <p>At several points in this investigation, data in the LMFDB and affiliated resources made the analysis and computations simpler or more efficient. InΒ turn the new number fields were added to the LMFDB, which did not previously include any fields with these Galois groups.</p>