Abstract
<p> We study the Borel moment map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript upper B Baseline colon upper T Superscript asterisk Baseline left-parenthesis German b times double-struck upper C Superscript n Baseline right-parenthesis right-arrow German b Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu _B:T^*(\mathfrak {b}\times \mathbb {C}^n)\rightarrow \mathfrak {b}^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , given by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis r comma s comma i comma j right-parenthesis right-arrow from bar left-bracket r comma s right-bracket plus i j"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> ↦ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(r,s,i,j)\mapsto [r,s]+ij</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and describe an algorithm to explicitly construct the geometric invariant theory (GIT) quotients <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript upper B Superscript negative 1 Baseline left-parenthesis 0 right-parenthesis slash slash upper B"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu _B^{-1}(0)/\!/_{\det }B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript upper B Superscript negative 1 Baseline left-parenthesis 0 right-parenthesis slash slash upper B"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu _B^{-1}(0)/\!/_{\det ^{-1}}B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and the affine quotient <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript upper B Superscript negative 1 Baseline left-parenthesis 0 right-parenthesis slash slash upper B"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu _B^{-1}(0)/\!/ B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We also provide an insight of the singular locus of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> irreducible components of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript upper B"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu _B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Finally, analogous to the Hilbert–Chow morphism, we discuss that the GIT quotient for the Borel setting is a resolution of singularities. </p>