Abstract
<p> Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a Banach space and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the Banach algebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper B left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {B}(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of bounded (i.e. continuous) linear transformations (to be called operators) on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to itself. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper E"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the set of idempotents in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the semigroup generated by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper E"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> under composition as multiplication. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T element-of script upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T\in \mathcal S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 not-equals upper T not-equals upper I Subscript upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo> ≠ </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ≠ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0\ne T\ne I_{X}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has a local block representation of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Start 2 By 2 Matrix 1st Row 1st Column upper T 1 2nd Column a m p semicolon upper T 2 2nd Row 1st Column 0 2nd Column a m p semicolon 0 EndMatrix"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {pmatrix} T_1 & T_2 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X equals upper Y circled-plus upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo> ⊕ </mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X=Y\oplus Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , a topological sum of non-zero closed subspaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Y"> <mml:semantics> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A element-of script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A\in \mathcal A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Start 2 By 2 Matrix 1st Row 1st Column upper A 1 2nd Column a m p semicolon upper A 2 2nd Row 1st Column upper A 3 2nd Column a m p semicolon upper A 4 EndMatrix"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end {pmatrix}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T 1 comma upper A 1 element-of script upper B left-parenthesis upper Y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T_1,A_1 \in \mathcal {B}(Y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T 2 comma upper A 2 element-of script upper B left-parenthesis upper Z comma upper Y right-parenthesis comma upper A 3 element-of script upper B left-parenthesis upper Y comma upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T_2,A_2\in \mathcal {B}(Z,Y), A_3\in \mathcal {B}(Y,Z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A 4 element-of script upper B left-parenthesis upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_4 \in \mathcal {B}(Z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The purpose of this paper is to study conditions for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to be in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {S}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . </p>